Question

一企業(yè)生產(chǎn)的某產(chǎn)品在不做電視廣告的前提下，每天銷售量為b件．經(jīng)市場調查后得到如下規(guī)律：若對產(chǎn)品進行電視廣告的宣傳，每天的銷售量S（件）與電視廣告每天的播放量n（次）的關系可用如圖所示的程序框圖來體現(xiàn)．
（1）試寫出該產(chǎn)品每天的銷售量S（件）關于電視廣告每天的播放量n（次）的函數(shù)關系式；
（2）要使該產(chǎn)品每天的銷售量比不做電視廣告時的銷售量至少增加90%，則每天電視廣告的播放量至少需多少次？

Answer 1

分析：（1）設電視廣告播放量為每天i次時，該產(chǎn)品的銷售量為s_i（0≤i≤n，）根據(jù)循環(huán)體可得Si=

b，i=0 Si-1+ b 2i ，1≤i≤n，i∈N*

，再用數(shù)列中的累加法求得s_n，
（2）“要使該產(chǎn)品每天的銷售量比不做電視廣告時的銷售量至少增加90%”根據(jù)（1）則有b(2-

1

2n

)≥1.9b．即(2-

1

2n

)≥1.9解指數(shù)不等式或通過驗證得到結果．

解答：解：（1）設電視廣告播放量為每天i次時，該產(chǎn)品的銷售量為為s_i（0≤i≤n，）．
由題意，Si=

b i=0 Si-1+ b 2i 1≤i≤n，i∈N*

，
于是當i=n時，Sn=b+(

b

2

+

b

22

++

b

2n

)=b(2-

1

2n

)，
所以，該產(chǎn)品每天銷售量S（件）與電視廣告播放量n（次/天）的函數(shù)關系式為S=b(2-

1

2n

)，n∈N*．
（2）由題意，有b(2-

1

2n

)≥1.9b．
所以，要使該產(chǎn)品的銷售量比不做電視廣告時的銷售量增加，則每天廣告的播放量至少需4次．

點評：本題主要考查函數(shù)模型的建立和應用，主要涉及了程序框圖，累加法和指數(shù)不等式的解法．