Question

函數(shù) (a>0)，

① 對(duì)于給定的a，設(shè)函數(shù)的最大值為M (a)，最小值為m (a)，求M (a)，m (a)的解析式及定義域；

② h (a)=M (a)—m (a)，求h (a)的解析式；

③ 變動(dòng)a，求h (a)的最小值及相應(yīng)的a的值；

④ 求不等式h (a)>1的解集．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：① －1≤x≤1  可設(shè)x=sinθ  f (sinθ)=sin2θ+2 lga ·cosθ        =－cos2θ+2 lga ·cosθ+1        =－(cosθ－lga)2+lg2a+1， 記cosθ=t，0≤t≤1，考慮． 易知： ②  ③  當(dāng)0<a≤1時(shí)  1－2lga的最小值為1  (a=1時(shí)取到)； 當(dāng)時(shí)  lg2a－2lga+1=(lga－1)2時(shí)，最小值為 (時(shí)取到)； 當(dāng)時(shí)  lg2a的最小值為 (時(shí)取到)； 當(dāng)a≥10時(shí)  2lga－1的最小值為1  (a=10時(shí)取到) ． 綜上，h (a)=M (a)—m (a)的最小值為． ④  h (a)=lg2a－2lg a+1=(lg a－1)2，且， ∴  ， 又 ， 故解不等式h (a)>1只需   令  或 ． 解之：得0<a<1或a>0． 故h (a)>1的解集為 {a|0<a<1或a>10}． 另解：分段畫(huà)出h (a)的草圖，圖中A(1，1)，，C (10，1)． 可見(jiàn)，不等式h(a)>1的解集是 a∈(0，1)∪(10，+∞)．