Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的實軸長為4$\sqrt{2}$，虛軸的一個端點與拋物線x²=2py（p＞0）的焦點重合，直線y=kx-1與拋物線相切且與雙曲線的一條漸進(jìn)線平行，則p=（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點坐標(biāo)，推出雙曲線的漸近線方程，利用直線與拋物線相切求解即可．

解答 解：拋物線x²=2py（p＞0）的焦點（0，$\frac{p}{2}$），可得b=$\frac{p}{2}$，a=2$\sqrt{2}$，雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{4y}^{2}}{{p}^{2}}=1$，
它的漸近線方程為：$±\frac{x}{2\sqrt{2}}=\frac{2y}{p}$，即：$y=±\frac{p}{4\sqrt{2}}x$，
直線y=kx-1與拋物線相切且與雙曲線的一條漸進(jìn)線平行，不妨：k=$\frac{p}{4\sqrt{2}}$，
$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{p}{4\sqrt{2}}x-1\\{x}^{2}=2py\end{array}\right.$，可得${x}^{2}=2p（\frac{p}{4\sqrt{2}}x-1）$=$\frac{{p}^{2}}{2\sqrt{2}}x-2p$．
△=${（-\frac{{p}^{2}}{2\sqrt{2}}）}^{2}-8p=0$，解得p=±4．
∵p＞0，∴p=4．
故選：A．

點評 本題考查拋物線與雙曲線以及直線方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．