Question

已知函數(shù)f（x）=2x+sinx+

3x-1

3x+1

（x∈R），f（x₁）+f（x₂）＞0，則下列不等式正確的是（　　）

• A、x₁＞x₂
• B、x₁＜x₂
• C、x₁+x₂＜0
• D、x₁+x₂＞0

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的奇偶性,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先判斷函數(shù)的奇偶性，進(jìn)一步判斷函數(shù)的單調(diào)性，在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)分兩步驟，最后對(duì)已知條件進(jìn)行恒等變換f（x₁）+f（x₂）＞0，f（x₁）＞-f（x₂）=f（-x₂），進(jìn)一步利用所求出的結(jié)論求的結(jié)果．

解答： 解：（1）已知函數(shù)f（x）=2x+sinx+

3x-1

3x+1

①x∈R
②f（-x）=2（-x）+sin（-x）+

3-x-1

3-x+1

=-（2x+sinx+

3x-1

3x+1

）=-f（x）
則：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）令f（x）=k（x）+p（x）即k（x）=2x+sinx，p（x）=

3x-1

3x+1

①則：k′（x）=2-cosx＞0
所以：k（x）為增函數(shù)．
p（x）=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

由于3^x在x∈R為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)一步求得p（x）=1-

2

3x+1

也為單調(diào)遞增函數(shù)．
故f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
∵f（x₁）+f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞-f（x₂）=f（-x₂）
利用函數(shù)的單調(diào)性解得：x₁＞-x₂即x₁+x₂＞0
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，及相關(guān)的恒等變換．