Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2x，g（x）=kx，定義域都是[0，2]，若|f（x）+g（x）|＜1恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍．

Answer 1

分析：|f（x）+g（x）|＜1恒成立，即-x²+（2+k）x-1＜0，且-x²+（2+k）x+1＞0恒成立．采用分離變量的方法，結(jié)合基本不等式法和導(dǎo)數(shù)法分別求出相應(yīng)的最值，建立不等關(guān)系求解．

解答：解：∵|f（x）+g（x）|＜1，
∴-1＜f（x）+g（x）＜1，
即-1＜-x²+（2+k）x＜1，
即-x²+（2+k）x-1＜0①，
且-x²+（2+k）x+1＞0②
當(dāng)x=0時(shí)，①②對(duì)任意的k都成立．
當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，由①得k+2＜

x2+1

x

=x+

1

x

，而x+

1

x

≥2

x× 1 x

=2，
∴k+2＜2，k＜0③．
由②得k+2＞

x2-1

x

=x-

1

x

，令h（x）=x-

1

x

，
則h′（x）=1+

1

x2

＞0，h（x）在0，2]是單調(diào)遞增，
∴h（x）max=h（2）=

3

2

，
∴k+2＞

3

2

，
∴k＞-

1

2

④．
由③④得，實(shí)數(shù)k的范圍是-

1

2

＜k＜0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，掌握分離變量的方法是本題的關(guān)鍵．