已知銳角三角形ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，其對應(yīng)邊分別為a，b，c，b=2
3
，向量
m
=（cosB，cosC），
n
=（c-a，b），且
m
•
n
=acosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求a+c的取值范圍．
分析：（I）由平面向量的基本定理及正弦定理的推論（邊角互化），可將
m
•
n
=acosB，轉(zhuǎn)化為sinCcosB-sinAcosB+sinBcosC=sinAcosB，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式，可得cosB=
1
2
，進而結(jié)合B為三角形內(nèi)角得到角B的大��；
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式，可得a+c≤4
3
，又由三角形兩邊之和大于第三邊可得a+c＞2
3
，綜合可得a+c的取值范圍．
解答：解：（I）∵
m
=（ cosB，cosC），
n
=（c-a，b），
∴
m
•
n
=（c-a）cosB+bcosC=acosB．
即sinCcosB-sinAcosB+sinBcosC=sinAcosB
即sin（B+C）=2sinAcosB
即sinA=2sinAcosB
即cosB=
1
2

即B=
π
3

（II）由b=2
3
，結(jié)合余弦定理可得
b2=a2+c2-2accosB
即12=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-3（
a+c
2
）2=
1
4
（a+c）2，
故（a+c）2≤48
故a+c≤4
3

又由三角形兩邊之和大于第三邊可得a+c＞2
3

故a+c的取值范圍為（2
3
，4
3
]
點評：本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積運算，正弦定理，兩角和的正弦公式，給值求角，余弦定理，基本不等式，是向量，三角函數(shù)，不等式的綜合應(yīng)用，難度較大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知銳角三角形ABC中，sin（A+B）=
3
5
，sin（A-B）=
1
5
．
（Ⅰ）求證：tanA=2tanB；
（Ⅱ）設(shè)AB=3，求AB邊上的高．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知銳角三角形△ABC內(nèi)角A、B、C對應(yīng)邊分別為a，b，c．tanA=
3
bc
b2+c2-a2
．
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知銳角三角形ABC中，定義向量
m
=（sinB，-
3
），
n
=（cos2B，4cos2
B
2
-2），且
m
∥
n

（1）求函數(shù)f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若b=1，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知銳角三角形ABC中內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．
（1）求角C的值；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx-
π
6
)-cosω
x
 
 
(ω＞0)，且f（x）圖象上相鄰兩最高點間的距離為π，求f（A）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•盧灣區(qū)二模）（文）已知銳角三角形ABC的三邊為連續(xù)整數(shù)，且角A、B滿足A=2B．
（1）當
π
5
＜B＜
π
4
時，求△ABC的三邊長及角B（用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求△ABC的面積S．

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