（1）若|a|＜1，|b|＜1，比較|a+b|+|a-b|與2的大小，并說明理由；
（2）設(shè)m是|a|，|b|和1中最大的一個，當|x|＞m時，求證：|
a
x
+
b
x2
|＜2.
分析：（1）由題設(shè)條件知，利用不等式的性質(zhì)不易找到證明的方法，故根據(jù)其不為負的情況對其進行平方，讓其與4來進行比較．
（2）對不等式的左邊用不等式的性質(zhì)放大，再由m是|a|，|b|和1中最大的一個，|x|＞m再一次放大，證出放大的表達式的值小于2，由不等號的傳遞性知可得結(jié)論．
解答：解：（1）|a|＜1，|b|＜1，有|a+b|+|a-b|＜2，證明如下
∵（|a+b|+|a-b|）2=2（a2+b2）+2|a2-b2||a|＜1，|b|＜1，
當|a|≤|b|時，即a2≤b2，有∵（|a+b|+|a-b|）2=4b2＜4，即|a+b|+|a-b|＜2
當|a|≥|b|時，即a2≥b2，有∵（|a+b|+|a-b|）2=4a2＜4，即|a+b|+|a-b|＜2
綜上知|a|＜1，|b|＜1，|a+b|+|a-b|≤2
（2）因為|x|＞m≥|b|且|x|＞m≥1，所以|x2|＞|b|．
又因為|x|＞m≥|a|，所以|
a
x
+
b
x2
|≤|
a
x
|+|
b
x2
|＜
|a|
|x|
+
|b|
|x|2
＜
|x|
|x|
+
|x|2
|x|2
=2，
故原不等式成立．
點評：本題考查不等式的證明，證明不等式的方法很多，主要有作差法，放縮法．本題在證明過程中用到了放縮法，在每一小題的證明中由a，b大小的不確定又用到了分類討論．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx-
a
x
+
a
x2
（a∈R）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若f（x）在[1，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于n∈N*，求證：
1
(1+1)2
+
2
(2+1)2
+
3
(3+1)2
…+
n
(n+1)2
＜ln(n+1)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•鹽城二模）設(shè)函數(shù)fn(x)=-xn+3ax+b（n∈N*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f3（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若對任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，求a的取值范圍；
（3）若|f4（x）|在[-1，1]上的最大值為
12
，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)數(shù)學公式（n∈N*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f3（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若對任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，求a的取值范圍；
（3）若|f4（x）|在[-1，1]上的最大值為數(shù)學公式，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年江蘇省鹽城市高考數(shù)學二模試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)（n∈N*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f3（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若對任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，求a的取值范圍；
（3）若|f4（x）|在[-1，1]上的最大值為，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：鹽城二模 題型：解答題

設(shè)函數(shù)fn(x)=-xn+3ax+b（n∈N*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f3（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若對任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，求a的取值范圍；
（3）若|f4（x）|在[-1，1]上的最大值為
1
2
，求a，b的值．

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