如圖1-10,在長方體ABCD—A1B1C1D1中,AB=6,AD=4,AA1=3,分別過BC、A1D1的兩個平行截面將長方體分成三部分,其體積分別記為V1=,V2=V,V3=.若V1∶V2∶V3=1∶4∶1,試求截面A1EFD1的面積.

圖1-10

思路分析:利用體積關系得到面積的關系解決此類問題,且靈活應用“轉化”這一重要數(shù)學思想.截面A1EFD1為一個矩形,求其面積只要求出A1E的長度.注意到被兩平行平面分割而成的三部分都是棱柱,其體積比也就是在側面A1B被分割成的三個圖形的面積比,于是容易得到各線段長度比進而得到線段AE長度,再利用勾股定理容易得到A1E的長度.

解:因為V1∶V2∶V3=1∶4∶1,又棱柱AEA1—DFD1,EBE1A1—FCF1D1,B1E1B—C1F1C的高相等,

所以∶S∶1=1∶4∶1.

所以=×3×6=3,即×3×AE=3,

所以AE=2.

在Rt△A1AE中,A1E=.

所以截面A1EFD1的面積為A1E×A1D1=A1E×AD=9+4=13.

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