Question

一只漁船遭遇臺風遇險，發(fā)出求救信號，在遇險地A西南方向10 n mile的B處有一只海船收到信號立即偵察，發(fā)現遇險船只沿南偏東75°，以9 n mile∕h的速度向前航行，漁船以21 n mile∕h的速度前往營救，并在最短時間內與漁船靠近．
（1）求漁船所花的最短時間；
（2）求漁船的航程；
（3）求漁船航向與BA的夾角的余弦值．

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（1）可先根據題意，不難得出∠BAC=120°，已知了軍艦和漁船的速度，那么可設時間，并用時間表示出AC，BC的長，已知了AB的長為10，可根據余弦定理來求出時間的值．
（2）漁船的航程BC=21t；
（3）根據（1）中求出的時間，可得出AC、BC的長，那么根據正弦定理即可求出漁船航向與BA的夾角的余弦值．

解答： 解：（1）設靠近漁船所需的時間為t小時，那么BC=21t（海里），AC=9t（海里），AB=10（海里），
根據余弦定理可得：BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cos120°
∴（21t）²=100+（9t）²-2×10×9t×（-

1

2

）
化簡得：36t²-9t-10=0
解得：t=

2

3

或t=-

5

12

（不合題意舍去）；
（2）漁船的航程BC=21t=14（海里），
（3）由（1）得出的時間值可得：BC=14，AC=6，AB=10
根據正弦定理可得：

6

sin∠CAB

=

14

sin120°

∴sin∠CAB=

3 3

14

．
∴cos∠CAB=

13

14

．

點評：本題主要考查了解直角三角形中方向角的應用問題，畫對圖形是解題的關鍵．