Question

設(shè)x，y滿足約束條件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目標函數(shù)z=(

2

a

+

1

b

)x+y（a＞0，b＞0）的最大值為8，則a+2b的最小值為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出可行域，利用目標函數(shù)z=(

2

a

+

1

b

)x+y（a＞0，b＞0）在（1，4）處取得最大值為8，可得

2

a

+

1

b

=4，利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可求a+2b的最小值．

解答： 解：滿足約束條件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

的可行域，如圖所示，
四邊形的四個頂點坐標分別為（0，0），（0，2），（1，4），（0.5，0），
由題意，目標函數(shù)z=(

2

a

+

1

b

)x+y（a＞0，b＞0）在（1，4）處取得最大值為8，
∴

2

a

+

1

b

=4，
∴a+2b=

1

4

（a+2b）（

2

a

+

1

b

）=

1

4

（4+

a

b

+

4b

a

）≥

1

4

（4+2

a b • 4b a

）=2，
當(dāng)且僅當(dāng)

a

b

=

4b

a

時，取等號，
∴a+2b的最小值為2．
故答案為：2．

點評：本題考查線性規(guī)劃知識的運用，考查基本不等式，考查學(xué)生的計算能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．