Question

如圖甲，△ABC是邊長為6的等邊三角形，E，D分別為AB，AC靠近B，C的三等分點，點G為邊BC邊的中點，線段AG交線段ED于點F．將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB，AC，AG，形成如圖乙所示的幾何體．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面AFG
（Ⅱ）求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由圖形折疊前后的特點可知DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC，由線面垂直的判定和性質定理，即可得證；
（Ⅱ）由面面垂直的性質定理，得到AF⊥平面BCDE，再由棱錐的體積公式即可得到答案．

解答： （Ⅰ）證明：在圖甲中，由△ABC是邊長為6的等邊三角形，
E，D分別為AB，AC靠近B，C的三等分點，
點G為邊BC邊的中點，得
DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC，
在圖乙中仍有，DE⊥AF，DE⊥GF，且AF∩GF=F，
∴DE⊥平面AFG，
∵ED∥BC，∴BC⊥平面AFG；
（Ⅱ）解：∵平面AED⊥平面BCDE，AF⊥ED，
∴AF⊥平面BCDE，
∴V_A-BCDE=

1

3

AF•S_BCDE=

1

3

×

3

2

×4×（

3

4

×36-

3

4

×16）=10．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關系，考查線面垂直的判定和性質定理，以及面面垂直的性質定理，同時考查棱錐的體積計算，屬于基礎題．