Question

設數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，其前n項的和為S_n，對于任意正整數(shù)m，n，恒成立．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a₄=a₂（a₁+a₂+1），求證：數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由給出的遞推式分別取m=1，m=2得到兩個關系式，兩式作比后可以證明數(shù)列{1+S_n}是一個等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得到S_n的表達式，模仿該式再寫一個關系式，兩式作差后進一步得到一個關于a₂和S₂的關系式，然后把a₁代入即可求得a₂的值，在分別取m=1，n=2；m=2，n=1代入原遞推式，得到關于a₃，a₄的方程后可求解a₃，a₄則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（2）在（1）的基礎上，取m=n=2得關系式，結合m=1，n=2得到的關系式可求出q==2．最后結合題目給出的條件，a₄=a₂（a₁+a₂+1）證出數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列．
解答：解（1）由得．
令m=1，得①
令m=2，得②
②÷①得： （n∈N^*）．記，
則數(shù)列{1+S_n} （n≥2，n∈N^*）是公比為q的等比數(shù)列．
∴ （n≥2，n∈N^*）③．
n≥3時，④．
③-④得， （n≥3，n∈N^*）．
在中，令m=n=1，得．
∴．
則1+S₂=2a₂，∴a₂=1+a₁．
∵a₁=1，∴a₂=2．
在中，令m=1，n=2，得．
則⑤
在中，令m=2，n=1，得
則⑥．
由⑤，⑥，解得a₃=4，a₄=8．
則q=2，由 （n≥3，n∈N^*），
得：
∵a₁=1，a₂=2也適合上式，∴．
（2）在中，令m=2，n=2，得
則1+S₄=2a₄，∴1+S₃=a₄．
在中，令m=1，n=2，得．
則，∴．
則a₄=4a₂，∴．
代入 （n≥3，n∈N^*），
得 （n≥3，n∈N^*）．
由條件a₄=a₂（a₁+a₂+1），得a₁+a₂+1=4．
∵a₂=a₁+1，a₁=1，∴a₂=2．
則
∵a₁=1，a₂=2上式也成立，
∴ （n∈N*）．
故數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列．
點評：本題考查了等比關系的確定，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合，訓練了學生的靈活變形能力和對繁雜問題的計算能力，屬中高檔題．