Question

如圖5所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點在線段上，平面.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，，求二面角的正切值.

Answer 1

解析：（Ⅰ）因為平面，平面，所以.又因為平面，平面，所以.而，平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，而平面，所以，而為矩形，所以為正方形，于是.

法1：以點為原點，、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系.則、、、，于是，.設平面的一個法向量為，則，從而，令，得.而平面的一個法向量為.所以二面角的余弦值為，于是二面角的正切值為3.

法2：設與交于點，連接.因為平面，平面，平面，所以，，于是就是二面角的平面角.又因為平面，平面，所以是直角三角形.由∽可得，而，所以，，而，所以，于是，而，于是二面角的正切值為.