Question

設F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設P（x，y），則=，根據x的取值范圍能夠得到的最大值和最小值．
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l．由題意知點A（5，0）在橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設為k，則直線l的方程為y=k（x-5），再把直線y=k（x-5）和橢圓聯(lián)系方程用根的判別式求l的方程或說明理由．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，
設P（x，y），則=，
∵，
∴當 x=0時，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值3；
當，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值4．
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l．由題意知點A（5，0）在橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設為k，則直線l的方程為y=k（x-5）
由方程組，得（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0
依題意．
當時，設交點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點為R（x，y），
則，∴，
又|F₂C|=|F₂D|?F₂R⊥l?，∴，
∴20k²=20k²-4，而20k²=20k²-4不成立，所以不存在直線l，使得|F₂C|=|F₂D|
綜上所述，不存在直線l，使得|F₂C|=|F₂D|．
點評：本題考查橢圓的性質及其應用，難度較大，解題時要仔細審題，認真解答．