Question

已知數列{a_n}滿足a₁=-1，a_n+1-2a_n-3=0數列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+3）．
（1）求{b_n}的通項公式；
（2）若數列{2ⁿ⁺¹b_n}的前n項的和為s_n，試比較s_n與8n²-4n的大�。�

Answer 1

分析：（1）由題意已知數列{a_n}滿足a₁=-1，a_n+1-2a_n-3=0先求出數列a_n}，在的有b_n=log₂（a_n+3）求出b_n；
（2）有（1）可知數列2ⁿ⁺¹b_n通項公式，利用其通項公式選擇求其和的方法求，并于8n²-4n進行比較大�。�

解答：解：（1）由有a_n+1-2a_n-3=0，得：a_n+1+3=2（a_n+3），
∴a_n+3=（a₁+3）2^n-1=2ⁿ，
∴b_n=log₂2ⁿ=n；
（2）∵S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹①
①×2得：2S_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+n×2ⁿ⁺²②
①-②得：S_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²=

4(1-2n)

1-2

-n×2n+2，
∴S_n=4+（n-1）×2ⁿ⁺²，
∴S_n-（8n²-4n）=4+（n-1）×2ⁿ⁺²-8n²+4n=（n-1）2ⁿ⁺²-4（2n+1）（n-1）=4（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]
當n=1時，S_n-（8n²-4n）=0，即S_n=8n²-4n；
當n=2時，S_n-（8n²-4n）=4×（2²-5）=-4，即S_n＜8n²-4n；
當n=3時，S_n-（8n²-4n）=4×2×（2³-7）=8，即S_n＞8n²-4n；
當n＞3時，由指數函數的圖象知總有2ⁿ＞（2n+1），
∴n＞3時，有S_n＞8n²-4n．

點評：此題考查已知數列的遞推關系利用因式分解求出數列的通項公式，還考查了利用做差法比較兩個因式的大�。�