如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證AM//平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A-DF-B的大��;
(Ⅲ)試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與BC所成的角是60°.
(1)對(duì)于線面平行的證明,主要是分析借助于中位線來得到AM∥OE
(2)60º(3)P是AC的中點(diǎn)
【解析】
試題分析:解法一: (1)記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE, ∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn), ACEF是矩形,∴四邊形AOEM是平行四邊形,
∴AM∥OE.∵平面BDE,
平面BDE,∴AM∥平面BDE.……4分
(2)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S,連結(jié)BS,∵AB⊥AF, AB⊥AD,
∴AB⊥平面ADF,∴AS是BS在平面ADF上的射影,
由三垂線定理得BS⊥DF.∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角.
在RtΔASB中,
∴∴二面角A—DF—B的大小為60º.……8分
(3)設(shè)CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,則PQ∥AD,
∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,,∴PQ⊥平面ABF,
平面ABF,∴PQ⊥QF.在RtΔPQF中,∠FPQ=60º,PF=2PQ.
∵ΔPAQ為等腰直角三角形,∴又∵ΔPAF為直角三
角形,∴,∴
所以t=1或t=3(舍去),即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).……12分
解法二: (1)建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè),連接NE,
則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是(
、(0,0,1),
∴, 又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是
,(
∴ =(
∴
且NE與AM不共線,∴NE∥AM.又∵
平面BDE,
平面BDE,∴AM∥平面BDE.
(2)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∴AB⊥平面ADF.
∴為平面DAF的法向量.
∵=(
·
=0,
∴=(
·
=0得
,
,∴NE為平面BDF的法向量.
∴cos<=
∴AB與NE的夾角是60º.即所求二面角A—DF—B的大小是60º.
(3)設(shè)P(t,t,0)(0≤t≤)得
∴
=(0,
, 0)
又∵PF和BC所成的角是60º.∴
解得或
(舍去),即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).
考點(diǎn):空間中線面的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng):解決的關(guān)鍵是根據(jù)線面平行的判定定理,以及空間的法向量來求解二面角的平面角的大小,屬于中檔題。
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