Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+2﹣3x．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f （1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，若關(guān)于x的不等式f（x）≥+（a﹣3）x+1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f'（x）=e^x+4x﹣3
則f'（1）=e+1，
又f（1）=e﹣1
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f （1））處的切線方程為y﹣e+1=（e+1）（x﹣1）
即（e+1）x﹣y﹣2=0
（2）由f（x）≥+（a﹣3）x+1得e^x+2﹣3x≥+（a﹣3）x+1
即ax≤e^x﹣﹣1
∵x≥1
∴a≤
記g（x）=，則g'（x）=
記φ（x）=e^x（x﹣1）﹣+1
則φ'（x）=x（e^x﹣1）
∵x≥1，φ'（x）＞0，
∴φ（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）≥φ（1）=＞0
∴g'（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）≥g（1）=e﹣
由a≤g（x）恒成立，得a≤g（x）min，
∴a≤e﹣即a的取值范圍是（﹣∞，e﹣]