解:(I)∵f(x)=
=
sin2x-
=sin2xcos
+cos2xsin
-
,
∴f(x)=sin(2x+
)-
,f(x)的最小正周期為T=
=π.
令2x+
=
+kπ,得x=
+
kπ,k∈Z,所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為:x=
+
kπ,(k∈Z)
令-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ,解之得-
+kπ≤x≤
+kπ,所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-
,
+kπ],(k∈Z)
同理可得,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[
+kπ,
+kπ],(k∈Z)
(II)∵保持縱坐標不變,把f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍,得到新的函數(shù)h(x)
∴h(x)=f(
x)=sin(
x+
)-
,
(i)h(x)的解析式為h(x)=sin(
x+
)-
;
(ii)∵h(A)=sin(
A+
)-
=
,
∴sin(
A+
)=
,結(jié)合A∈(0,π)得A=
∵
=
∴sinAcosA=sinBcosB,可得sin2A=sin2B,即A=B或A+B=
①當A=B時,因為c=2,A=
,所以△ABC是邊長為2的等邊三角形,
因此,△ABC的面積S=
×2
2=
.
②當A+B=
時,因為c=2,A=
,所以△ABC是斜邊為2的直角三角形
∴a=csinA=2×
=
,b=ccosA=2×
=1
因此,△ABC的面積S=
×
×1=
.
綜上所述,得△ABC的面積是
或
.
分析:(I)利用二倍角的三角函數(shù)公式降次,再用輔助角公式合并得f(x)=sin(2x+
)-
,再結(jié)合函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)的有關(guān)公式,可得f(x)的最小正周期、對稱軸方程及單調(diào)區(qū)間;
(II)(i)根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的公式,不難得到h(x)的解析式為h(x)=sin(
x+
)-
;
(ii)根據(jù)h(A)的值結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍和特殊三角函數(shù)的值,求得A=
,再由
結(jié)合正弦定理,討論得三角形是等腰三角形或是直角三角形,最后在兩種情況下分別解此三角形,再結(jié)合面積公式可求出△ABC的面積.
點評:本題綜合了三角恒變換、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換、利用正余弦定理解三角形等知識,對三角函數(shù)的知識進行了綜合考查,是一道中檔題.