Question

知|

a

|=1，|

b

|=

2

，
（1）若

a

與

b

的夾角為

π

3

，求|

a

+

b

|．
（2）若

a

-

b

與

a

垂直，求

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：（1）求向量的模長運(yùn)算，一般先對結(jié)果平方，把模長的運(yùn)算變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積和已知的模長，代入結(jié)果運(yùn)算，注意最后結(jié)果要開方；
（2）根據(jù)兩個向量之間的關(guān)系求兩個向量的夾角，根據(jù)所給的條件得到兩者之間的關(guān)系，通過代入夾角公式，約分得到夾角的余弦值，根據(jù)夾角的范圍得到結(jié)果．

解答：解：（1）|

a

+

b

|²=|

a

|²+2

a

•

b

+|

b

|²
=1+2×1×

2

×cos

π

3

+2
=3+

2

．
∴|

a

+

b

|=

3+ 2

．
（2）∵

a

-

b

與

a

垂直，
∴（

a

-

b

）•

a

=0．
∴|

a

|²-

a

•

b

=0，
∴

a

•

b

=|

b

|²．
設(shè)

a

與

b

的夾角為θ．
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

|a|2

|a||b|

=

1

1× 2

=

2

2

．
又0≤θ≤π，
∴θ=

π

4

．
∴向量

a

與

b

的夾角為

π

4

．

點(diǎn)評：本題是向量數(shù)量積的運(yùn)算，條件中給出兩個向量的模和兩向量的夾角，代入數(shù)量積的公式運(yùn)算即可，本題充分考查數(shù)量積的應(yīng)用，數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長；②求夾角；③判垂直．