Question

（2006•豐臺(tái)區(qū)二模）如圖，設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，則直線(xiàn)B₁C與平面AB₁D₁所成的角是（　�。�

• A．

  π

  2

• B．arccos

  3

  3

• C．

  π

  4

• D．arccos

  3

  6

Answer 1

分析：根據(jù)線(xiàn)面角的定義先確定直線(xiàn)B₁C與平面AB₁D₁所成的角平面角，然后根據(jù)條件進(jìn)行求值即可．

解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系如圖：
則A（1，0，0），D₁（0，0，1），B_{1（1，1，1）}，C（0，1，0）．
則

B1C

=(-1，0，-1)，

AD1

=(-1，0，1)，

AB1

=(0，1，1)，
設(shè)平面AB₁D₁的法向量為

n

=(x，y，z)，則由

n • AD1 =0 n • AB1 =0

，得

-x+z=0 y+z=0

，令z=1，則x=1，y=-1，即

n

=(1，-1，1)．
則

n

•

B1C

=(1，-1，1)•(-1，0，-1)=-1-1=-2，|

n

|=

3

，|

B1C

|=

2

．
所以設(shè)直線(xiàn)B₁C與平面AB₁D₁所成的角是θ，則sin?θ=|cos?(

π

2

-θ)|=

| n ? B1C |

| n || B1C |

=

2

2 × 3

=

2

3

，所以cosθ=

3

3

，
即θ=arccos

3

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題只有考查空間直線(xiàn)和平面所成角的求法，利用向量法是解決空間角的基本方法，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．