Question

已知正方形ABCD的邊長為1，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對角線BD折起，使AC=1，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-BC-D．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明AO⊥CO，由正方形的性質(zhì)可得AO⊥BD，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD．
（2）由（1）知AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，分別求出平面ABC和平面BCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角A-BC-D的余弦值．
解答：（1）證明：在△AOC中，∵AC=1，AO=CO=，∴AC²=AO²+CO²，∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的對角線，∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD．
（2）解：由（1）知，AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，如圖，

以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則O（0，0，0），A（0，0，），C（，0，0），B（0，-，0），D（0，，0）
∴=（0，0，）是平面BCD的一個法向量，，，
設(shè)平面ABC的法向量為，則由，可得
所以可取．
從而cos==，
∴二面角A-BC-D的余弦值為．
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，解題的關(guān)鍵是分別求出平面ABC和平面BCD的法向量，屬于中檔題．