Question

某種家用電器每臺(tái)的銷售利潤(rùn)與該電器的無故障使用時(shí)間T（單位：年）有關(guān)．若T≤1，則銷售利潤(rùn)為0元；若1＜T≤3，則銷售利潤(rùn)為100元；若T＞3，則銷售利潤(rùn)為200元．設(shè)每臺(tái)該種電器的無故障使用時(shí)間T≤1，1＜T≤3，T＞3這三種情況發(fā)生的概率分別為p₁，p₂，p₃，又知p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的兩個(gè)根，且p₂=p₃．
（Ⅰ）求p₁，p₂，p₃的值；
（Ⅱ）記λ表示銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和，求λ的分布列；
（Ⅲ）求銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和的期望值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵p₁+p₂+p₃=1，p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的兩個(gè)根，且p₂=p₃，
∴p₁+p₂==，∴p₃=，∴p₁=
（Ⅱ）λ的可能取值為0，100，200，300，400，則P（λ=0）==；P（λ=10）==；
P（λ=20）==；P（λ=30）==；
P（λ=40）==
∴λ的分布列為

λ	0	100	200	300	400
P

（Ⅲ）銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和的期望值Eλ=0×+100×++200×+300×+400×=240
分析：（Ⅰ）利用p₁+p₂+p₃=1，p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的兩個(gè)根，且p₂=p₃，可求p₁，p₂，p₃的值；
（Ⅱ）λ的可能取值為0，100，200，300，400，求出相應(yīng)的概率，可得λ的分布列；
（Ⅲ）利用期望公式可求銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和的期望值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，確定變量的取值，計(jì)算概率是關(guān)鍵．