Question

如圖，在半徑為2，圓心角為45°的扇形的AB弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接平行四邊形MNPQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在0B上，設(shè)∠BOP=θ，?MNPQ的面積為S，求S與θ之間的函數(shù)關(guān)系式；并求S的最大值及相應(yīng)的θ值．

Answer 1

分析：過(guò)P點(diǎn)作PL垂直于OB于L，過(guò)Q點(diǎn)作QH垂直于OB于H，則可分別表示出OH，OL和PL，代入平行四邊形的面積公式中，利用三角函數(shù)的二倍角公式和兩角和公式化簡(jiǎn)整理求得S與θ之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得S的最大值和相應(yīng)θ的值．

解答：解：過(guò)P點(diǎn)作PL垂直于OB于L，過(guò)Q點(diǎn)作QH垂直于OB于H
則HL=QP=MN，QH=PL
OH=QH×cot∠AOB=QH
OL=OP×cosθ
PL=OP×sinθ
于是
S=PL×MN
=OP×sinθ×（OP×cosθ-OP×sinθ）
=4sinθ×（cosθ-sinθ）
=4[

1

2

（sin2θ-

1

2

（1-cos2θ）]
=2（sin2θ+cos2θ-1）（0＜θ＜45°）
則S=2（sin2θ+cos2θ-1）=2[

2

sin（2θ+45°）-1]≤2

2

-2
當(dāng)S=2

2

-2時(shí)，2θ+45°=90°，θ=22.5°

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型的問(wèn)題．考查了學(xué)生知識(shí)的掌握和遷移的能力．