函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0,f(x)<0.
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并說明理由;
(2)證明:函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù);
(3)若y=f(ax2-a2x)-f[(a+1)(x-1)]在x∈(0,2)上有零點,求a的范圍.
分析:(1)令y=x=0,可得f(0)=0,令y=-x,可得f(x)+f(-x)=0,進(jìn)而根據(jù)奇偶性定義可得答案;
(2)任意的x1,x2∈R,x1<x2,設(shè)x2=x1+t,t>0,結(jié)合f(x+y)=f(x)+f(y),及x>0,f(x)<0可判斷f(x1)-f(x2)的符號,進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性的定義得到結(jié)論
(3)當(dāng)y=f(ax2-a2x)-f[(a+1)(x-1)]在x∈(0,2)上有零點,則方程f(ax2-a2x)=f[(a+1)(x-1)]有根,根據(jù)(2)的結(jié)論可得ax2-a2x=(a+1)(x-1)有根.分類討論后可得答案.
解答:解:(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y),
令y=x=0
則f(0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0
令y=-x
則f(x)+f(-x)=f(0)=0
∴f(x)為奇函數(shù)…(3分)
證明:(2)任意的x1,x2∈R,x1<x2,設(shè)x2=x1+t,t>0
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+t)=f(x1)-f(x1)-f(t)=-f(t)>0
∴f(x1)>f(x2),
故f(x)在R上是減函數(shù)…(2分)
解:(3)∵y=f(ax2-a2x)-f[(a+1)(x-1)]=0
∴f(ax2-a2x)=f[(a+1)(x-1)]
即ax2-a2x=(a+1)(x-1)
∴ax2-(a2+a+1)x+a+1=(ax-1)[x-(a+1)]=0…(1分)
①a=0時,x=1∈(0,2)符合…(1分)
②a≠0時,則
1
a
∈(0,2)或a+1∈(0,2)
∴a≥
1
2
或-1<a<1且a≠0…(2分)
綜上a∈(-1,+∞)…(1分)
點評:本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的零點,其中“湊”的思想是解決抽象函數(shù)的關(guān)鍵,而(3)的關(guān)鍵是借助(2)的結(jié)論,脫卻函數(shù)符號,構(gòu)造方程ax2-a2x=(a+1)(x-1)有根.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1且f(1)=1.
(1)若x∈N*,試求f(x)的解析式;
(2)若x∈N*,且x≥2時,不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x,存在常數(shù)M,使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立,那么就稱函數(shù)f(x)為有界泛函,下面四個函數(shù):
①f(x)=1;②f(x)=x2;③f(x)=(sinx+cosx)x;④f(x)=
xx2+x+1

其中屬于有界泛函的是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x,存在常數(shù)M,使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立,那么就稱函數(shù)f(x)為有界泛函數(shù),下面四個函數(shù):①f(x)=1;②f(x)=x2;③f(x)=(sinx+cosx)x;④f(x)=
x
x2+x+1

其中屬于有界泛函數(shù)的是( 。
A、①②B、①③C、③④D、②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)對任意的正實數(shù)x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,則一定正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x1,x2∈D,均有|f(x2)-f(x1)|≤|x2-x1|,則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”,
(1)判斷g(x)=sinx和h(x)=x2-x是不是實數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”,并說明理由;
(2)若數(shù)列{xn}對所有的正整數(shù)n都有 |xn+1-xn|≤
1
(2n+1)2
,設(shè)yn=sinxn,求證:|yn+1-y1|<
1
4

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