已知橢圓C的焦點在x軸上，中心在原點，離心率，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，點M是橢圓上異于Al，A2的任意一點，設直線MA1，MA2的斜率分別為，證明為定值．
【答案】分析：（I）設橢圓的方程，利用離心率，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切，確定幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）利用M點在橢圓上，計算斜率，化簡即可得到結(jié)論．
解答：（I）解：設橢圓的方程為
∵離心率，∴a2=3c2，∴b2=2c2
∵直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切
∴b=
∴c2=1
∴a2=3
∴橢圓的方程為；
（Ⅱ）證明：由橢圓方程得A1（-，0），A2（，0），
設M點坐標（x，y），則
∴
∴=×===-
∴是定值-是定值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓相切，考查斜率的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點在x軸上，一個頂點的坐標是（0，1），離心率等于
2
5
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于M點，若
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點在x軸上，中心在原點，離心率e=
3
3
，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左、右頂點分別為A1、A2，點M是橢圓上異于A1、A2的任意一點，設直線MA1、MA2的斜率分別為kMA1、kMA2，證明kMA1•kMA2為定值；
（Ⅲ）設橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，A1、A2為長軸兩個端點，M為橢圓上異于A1、A2的點，kMA1、kMA2分別為直線MA1、MA2的斜率，利用上面（Ⅱ）的結(jié)論得kMA1•kMA2=
 
（只需直接填入結(jié)果即可，不必寫出推理過程）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•香洲區(qū)模擬）已知橢圓C的焦點在x軸上，中心在原點，離心率e=
3
3
，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，點M是橢圓上異于Al，A2的任意一點，設直線MA1，MA2的斜率分別為kMA1，kMA2，證明kMA1，kMA2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點在x軸，焦距為2
3
，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點，P為橢圓上一點，且|PF1|+|PF2|=4．
（Ⅰ）求此橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）求證：直線y=x+
5
與橢圓C有且僅有一個公共點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點在x軸上，中心在原點，離心率e=
3
3
，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左、右頂點分別為A1、A2，點M是橢圓上異于A1、A2的任意一點，設直線MA1、MA2的斜率分別為KMA1、KMA2，證明KMA1•KMA2為定值；
（Ⅲ）設橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，A1、A2為長軸兩個端點，M為橢圓上異于A1、A2的點，KMA1、KMA2分別為直線MA1、MA2的斜率，利用上面（Ⅱ）的結(jié)論得KMA1•KMA2=
-
b
a
-
b
a
（只需直接填入結(jié)果即可，不必寫出推理過程）．

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