Question

給出下列命題：
①已知橢圓

x2

16

+

y2

8

=1兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，則橢圓上存在六個(gè)不同點(diǎn)M，使得△F₁MF₂為直角三角形；
②已知直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y=2x²的焦點(diǎn)，且與這條拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過(guò)雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④根據(jù)氣象記錄，知道荊門(mén)和襄陽(yáng)兩地一年中雨天所占的概率分別為20%和18%，兩地同時(shí)下雨的概率為12%，則荊門(mén)為雨天時(shí)，襄陽(yáng)也為雨天的概率是60%．
其中正確命題的序號(hào)是（　　）

A．①③④

B．①②③

C．③④

D．①②④

Answer 1

分析：①判斷過(guò)焦點(diǎn)和短軸短點(diǎn)的三角形的性質(zhì)即可．②根據(jù)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系判斷．③利用直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系判斷．④根據(jù)條件概率的定義判斷．

解答：解：①橢圓的方程可知a=4，b=2

2

，c=2

2

，則焦點(diǎn)和短軸短點(diǎn)的三角形的角為θ，
則sin

θ

2

=

c

a

=

2 2

4

=

2

2

，則

θ

2

=

π

4

，所以θ=

π

2

，所以此時(shí)存在2個(gè)不同點(diǎn)M，使得△F₁MF₂為直角三角形，當(dāng)θ≠

π

2

，則當(dāng)F₁M⊥F₂F₁，或F₂M⊥F₂F₁，時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的M有四個(gè)，所以總共6個(gè)M，所以①正確．
②拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=

1

2

y，所以2p=

1

2

，根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)可知，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交，通徑最最小，所以|AB|的最小值為

1

2

，所以②錯(cuò)誤．
③雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)性方程為y=±

b

a

x，不妨取bx-ay=0，焦點(diǎn)為（c，0），所以根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得
d=

|bc|

a2+b2

=

bc

c

=b，所以|OM|=

c2-b2

=a，所以③正確．
④設(shè)一年中荊門(mén)下雨記為事件A，襄陽(yáng)下雨記為事件B，則兩市同時(shí)下雨記為事件AB，
所以p（A）=20%，p（B）=18%，p（AB）=12%，
則荊門(mén)為雨天時(shí)，襄陽(yáng)也為雨天的概率為

P(AB)

P(A)

=

12%

20%

=60%，所以④正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．