Question

若函數(shù)f（x）=x³-3x-k在R上只有一個零點，則常數(shù)k的取值范圍是

（-∞，-2）

．

Answer 1

分析：令f′（x）=0，解得 x=1或 x=-1，由導(dǎo)數(shù)的符號可得函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，故f（-1）是函數(shù)的極小值．由條件可得f（1）＞0，由此求得常數(shù)k的取值范圍．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，解得 x=1或 x=-1．
利用導(dǎo)數(shù)的符號可得 函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
故f（-1）是函數(shù)的極大值，f（1）是函數(shù)的極小值．
由函數(shù)f（x）=x³-3x-k可得此函數(shù)的值域為R．
再由函數(shù)f（x）=x³-3x-k在R上只有一個零點，可得極小值f（1）＞0，即1-3-k＞0，解得 k＜-2，
故常數(shù)k的取值范圍是（-∞，-2），
故答案為 （-∞，-2）．

點評：三次函數(shù)的零點研究，通常與函數(shù)的極值有關(guān)，解題時，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的極值即可，屬于基礎(chǔ)題．