Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2bx²+cx-2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y=5x-10，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+mx，若g（x）的極值存在，求實數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g（x）取得極值時對應(yīng)的自變量x的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，切點為（2，0），
故有f（2）=0，即4b+c+3=0，①
f′（x）=3x²+4bx+c，
由已知，得8b+c+7=0，②
聯(lián)立①、②，解得c=1，b=1，
于是函數(shù)解析式為f（x）；
（Ⅱ），
，
令g′（x）=0，當(dāng)函數(shù)有極值時，△≥0，方程有實根，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1，
①當(dāng)m=1時，g′（x）=0有實根，在左右兩側(cè)均有g(shù)′（x）＞0，故函數(shù)g（x）=0無極值；
②m＜1時，g′（x）=0有兩個實根，，
當(dāng)x變化時，g′（x）、g（x）的變化情況如下表：

故在m時，函數(shù)g（x）有極值，
當(dāng)時，g（x）有極大值；當(dāng)時，g（x）有極小值。