Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），且當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x³．
（1）求f（x）在[1，5]上的表達式；
（2）若A={x|f（x）＞a，x∈R}，且A≠∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：由f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
故f（x）的周期為4
（1）當(dāng)x∈[3，5]時，x-4∈[-1，1]，
∴f（x-4）=（x-4）³，
又T=4，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）³，x∈[3，5]
當(dāng)x∈[1，3）時，x-2∈[-1，1），
∴f（x-2）=（x-2）³，
又f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-2）=-（x-2）³，x∈[1，3）
故f（x）=
（2）當(dāng)x∈[1，3）時，f（x）=-（x-2）³為減函數(shù)
故f（x）∈（f（3），f（1）]=（-1，1]
當(dāng)x∈[3，5]時，f（x）=（x-4）³為增函數(shù)
故f（x）∈[f（3），f（5）]=[-1，1]
故當(dāng)x∈[1，5]時，f（x）∈[-1，1]
∵f（x）的周期函數(shù)，
∴f（x）的值域為[-1，1]
又∵f（x）＞a，對x∈R有解，
∴a＜1
分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），可得f（x）的周期為4，結(jié)合當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x³．可求出當(dāng)x∈[3，5]時和當(dāng)x∈[1，3）時的函數(shù)解析式，進而得到f（x）在[1，5]上的表達式；
（2）根據(jù)f（x）的周期為4，及f（x）在[1，5]上的表達式，我們可以求出函數(shù)f（x）的值域，進而根據(jù)A={x|f（x）＞a，x∈R}，且A≠∅，可得a小于函數(shù)f（x）的最小值，進而得到答案．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，函數(shù)的值域，函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)恒成立問題，是函數(shù)問題一個相對綜合的應(yīng)用，有一定的難度．