Question

已知拋物線C：，點(diǎn)A、B在拋物線C上.

（1）若直線AB過點(diǎn)M（2p，0），且=4p，求過A，B，O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）三點(diǎn)的圓的方程；

（2）設(shè)直線OA、OB的傾斜角分別為，且，問直線AB是否會過某一定點(diǎn)？若是，求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）過定點(diǎn)

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)直線斜率不存在時方程為，與的交點(diǎn)分別為M，N，弦長。此時中，，邊的中線長為,所以是直角三角形，過三點(diǎn)的圓的圓心為邊的中點(diǎn)，半徑為，則可得此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）設(shè)點(diǎn)，為了省去對斜率存在與否的討論可設(shè)直線AB的方程為：。將直線與拋物線方程聯(lián)立，消去整理為關(guān)于的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系。根據(jù)用正切的兩角和公式展開可得關(guān)于兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系。根據(jù)兩關(guān)系式可得與間的關(guān)系，故此可判斷直線是否過定點(diǎn)。

試題解析：（1）直線與拋物線的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別是：M，N，弦長，故三角形ABO是，所以過A，B，O三點(diǎn)的圓方程是：

（2）【解析】
設(shè)點(diǎn)，直線AB的方程為：，它與拋物線相交，由方程組消去x可得，故，，

這樣，tan

即1=，所以，所以直線AB的方程可以寫成為：，即，所以直線AB過定點(diǎn).

考點(diǎn)：1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2拋物線與直線的位置關(guān)系問題；3直線過定點(diǎn)問題。