Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=-x²+ax．
（1）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)；
①直接寫出a的范圍（不必證明）；
②若對任意實數(shù)m，f（m-1）+f（m²+t）＜0恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（1）當x＜0時，-x＞0，又因為f（x）為奇函數(shù)，
所以f（x）=-f（-x）=-（-x²+2x）=x²-2x，
 所以f（x）=

-x2-2x，x≥0 x2-2x，x＜0

．
（2）①當a≤0時，對稱軸x=

a

2

≤0，所以f（x）=-x²+ax在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
由于奇函數(shù)關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
所以a≤0時，f（x）在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，
當a＞0時，f（x）在（0，

a

2

）遞增，在（

a

2

，+∞）上遞減，不合題意，
所以函數(shù)f（x）為單調(diào)減函數(shù)時，a的范圍為a≤0．
②f（m-1）+f（m²+t）＜0，∴f（m-1）＜-f（m²+t），
又f（x）是奇函數(shù)，∴f（m-1）＜f（-t-m²），
又因為f（x）為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以m-1＞-t-m²恒成立，
所以t＞-m2-m+1=-(m+

1

2

)2+

5

4

恒成立，所以t＞

5

4

．
即實數(shù)t的范圍為：（

5

4

，+∞）．