Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，點(diǎn)E、M分別為A₁B、C₁C的中點(diǎn)，過點(diǎn)A₁，B，M三點(diǎn)的平面A₁BMN交C₁D₁于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求證：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（Ⅱ）求二面角B-A₁N-B₁的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)A₁B₁的中點(diǎn)為F，連接EF、FC₁．跟中位線的性質(zhì)可知EF B₁B．進(jìn)而根據(jù)C₁M B₁B判斷出EF MC₁．推斷出EMC₁F為平行四邊形．進(jìn)而可知EM∥FC₁．推斷出EM∥平面A₁B₁C₁D₁．
（2）作B₁H⊥A₁N于H，連接BH．根據(jù)BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，可知BH⊥A₁N，進(jìn)而推斷出∠BHB₁為二面角B-A₁N-B₁的平面角．根據(jù)EM∥平面A₁B₁C₁D₁，EM?平面A₁BMN，平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N，推斷出EM∥A₁N．進(jìn)而可推斷出A₁N∥FC₁．A₁F∥NC₁，推知A₁FC₁N是平行四邊形．AA₁=a，在Rt△A₁D₁N中，求得A₁N，進(jìn)而求得sin∠A₁ND₁，同理求得B₁H則在Rt△BB₁H中求得答案．
解答：解：（Ⅰ）證明：取A₁B₁的中點(diǎn)F，連EF，C₁F
∵E為A₁B中點(diǎn)
∴EF∥BB₁
又∵M(jìn)為CC₁中點(diǎn)
∴EF∥C₁M
∴四邊形EFC₁M為平行四邊形
∴EM∥FC₁
而EM?平面A₁B₁C₁D₁．FC₁?平面A₁B₁C₁D₁．
∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁   （6分）
（Ⅱ）由（1）EM∥平面A₁B₁C₁D₁
EM?平面A₁BMN
平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N
∴A₁N∥EM∥FC₁
∴N為C₁D₁ 中點(diǎn)
過B₁作B₁H⊥A₁N于H，連BH，
根據(jù)三垂線定理  BH⊥A₁N
∠BHB₁即為二面角B-A₁N-B₁的平面角（8分）
設(shè)AA₁=a，則AB=2a，
∵A₁B₁C₁D₁為正方形
∴A₁H=
又∵△A₁B₁H∽△NA₁D₁
∴B₁H=，
在Rt△BB₁H中，tan∠BHB₁=
即二面角B-A₁N-B₁的正切值為（12分）
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合，主要考查了直線與平面平行的判定，面面角等．關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面平行的判定，作出二面角的平面角．