Question

在平面直角坐標系中，已知O為坐標原點，點A的坐標為（a，b），點B的坐標為（cosωx，sinωx），其中a²+b²≠0且ω＞0．設(shè)f(x)=

OA

•

OB

．
（1）若a=

3

，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在區(qū)間[0，2π]內(nèi)的解集；
（2）若點A是過點（-1，1）且法向量為

n

=(-1，1)的直線l上的動點．當(dāng)x∈R時，設(shè)函數(shù)f（x）的值域為集合M，不等式x²+mx＜0的解集為集合P．若P⊆M恒成立，求實數(shù)m的最大值；
（3）根據(jù)本題條件我們可以知道，函數(shù)f（x）的性質(zhì)取決于變量a、b和ω的值．當(dāng)x∈R時，試寫出一個條件，使得函數(shù)f（x）滿足“圖象關(guān)于點(

π

3

，0)對稱，且在x=

π

6

處f（x）取得最小值”．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義表示出函數(shù)f（x）的解析式將a=

3

，b=1，ω=2代入后化簡，再令f（x）=1解出x的值即可．
（2）先寫出直線l的方程，得到a與b的關(guān)系代入f（x）求出函數(shù)f（x）的值域M，解出集合P后令P⊆M恒成立即可．
（3）根據(jù)三角函數(shù)的對稱性對b分大于0和小于0兩種情況進行分析．

解答：解：（1）由題意f(x)=

OA

•

OB

=bsinωx+acosωx，
當(dāng)a=

3

，b=1，ω=2時，f(x)=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)=1，?sin(2x+

π

3

)=

1

2

，
則有2x+

π

3

=2kπ+

π

6

或2x+

π

3

=2kπ+

5π

6

，k∈Z．
即x=kπ-

π

12

或x=kπ+

π

4

，k∈Z．
又因為x∈[0，2π]，故f（x）=1在[0，2π]內(nèi)的解集為{

π

4

，

11π

12

，

5π

4

，

23π

12

}．
（2）由題意，l的方程為-（x+1）+（y-1）=0?y=x+2．A在該直線上，故b=a+2．
因此，f(x)=(a+2)sinωx+acosωx=

(a+2)2+a2

sin(ωx+φ)，
所以，f（x）的值域M=[-

(a+2)2+a2

，

(a+2)2+a2

]．
又x²+mx=0的解為0和-m，故要使P⊆M恒成立，
只需-m∈[-

(a+2)2+a2

，

(a+2)2+a2

]，而

(a+2)2+a2

=

2(a+1)2+2

≥

2

即-

2

≤m≤

2

，所以m的最大值

2

．
（3）因為f(x)=

OA

•

OB

=bsinωx+acosωx=

a2+b2

sin(ωx+φ)，
設(shè)周期T=

2π

ω

．
由于函數(shù)f（x）須滿足“圖象關(guān)于點(

π

3

，0)對稱，
且在x=

π

6

處f（x）取得最小值”．
因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可知，

π

3

-

π

6

=

T

4

+

n

2

•T?

π

6

=

2π

ω

(

2n+1

4

)?ω=6n+3，n∈N．
又因為，形如f(x)=

a2+b2

sin(ωx+φ)的函數(shù)的圖象的對稱中心都是f（x）的零點，故需滿足sin(

π

3

ω+φ)=0，
而當(dāng)ω=6n+3，n∈N時，
因為

π

3

(6n+3)+φ=2nπ+π+φ，n∈N；
所以當(dāng)且僅當(dāng)φ=kπ，k∈Z時，f（x）的圖象關(guān)于點(

π

3

，0)對稱；
此時，

sinφ= a a2+b2 =0 cosφ= b a2+b2 =±1

?a=0，

b

|b|

=±1．
（i）當(dāng)b＞0，a=0時，f（x）=sinωx，進一步要使x=

π

6

處f（x）取得最小值，
則有f(

π

6

)=sin(

π

6

•ω)=-1?

π

6

•ω=2kπ-

π

2

?ω=12k-3，k∈Z；
又ω＞0，則有ω=12k-3，k∈N^*；因此，由
ω=6n+3，n∈N^×
ω=12k-3，n∈N^*
可得ω=12m+9，m∈N；
（ii）當(dāng)b＜0，a=0時，f（x）=-sinωx，進一步要使x=

π

6

處f（x）取得最小值，
則有f(

π

6

)=-sin(

π

6

•ω)=-1?

π

6

•ω=2kπ+

π

2

?ω=12k+3，k∈Z；
又ω＞0，則有ω=12k+3，k∈N；因此，由
ω=6n+3，n∈N^×
ω=12k-3，n∈N^*
可得ω=12m+3，m∈N；
綜上，使得函數(shù)f（x）滿足“圖象關(guān)于點(

π

3

，0)對稱，
且在x=

π

6

處f（x）取得最小值”的充要條件是：
“當(dāng)b＞0，a=0時，ω=12m+9（m∈N）或當(dāng)b＜0，a=0時，ω=12m+3（m∈N）”．

點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)的兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用．屬難題．平時要注意基礎(chǔ)知識的掌握遇到難題時方能迎刃而解．