Question

12、若-1＜x＜0，在下列四個(gè)不等式：①5^-x＜5^x＜0.5^x；②0.5^x＜5^-x＜5^x；③5^x＜5^-x＜0.5^x；④5^x＜0.5^x＜5^-x中，成立的是（填正確序號(hào)）

④

．

Answer 1

分析：本題中四個(gè)命題涉及到的三個(gè)數(shù)都是指數(shù)式，故本題可以用直接法來對它們的大小比較，本題宜借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，觀察發(fā)現(xiàn)可以借助的函數(shù)有兩個(gè)，一個(gè)是y=5^x，一個(gè)是y=2^x．

解答：解：由于本題中四個(gè)命題都是涉及到三個(gè)數(shù)5^-x，5^x，0.5^x，故下面直接利用相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性來比較它們?nèi)�者的大�。?BR>由于0.5^x=2^-x
考察y=5^x與y=2^x的單調(diào)性
∵-1＜x＜0，可得0＜-x＜1
∴5^x＜1＜5^-x，2^-x＞1
考察冪函數(shù)y=x^t，t∈（0，1），其是一個(gè)單調(diào)增函數(shù)
故有2^-x＜5^-x
綜上知5^x＜2^-x＜5^-x，即5^x＜0.5^x＜5^-x．
由此知④是正確的
故答案為④

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，單調(diào)性的一個(gè)重要應(yīng)用是利用它比較大小，做題中要根據(jù)所面臨的問題靈活選擇函數(shù)，如本題中從形式上看只需要研究兩個(gè)函數(shù)y=5^x與y=2^x，而在實(shí)際比較中發(fā)現(xiàn)，為了比較0.5^x，5^-x兩個(gè)數(shù)的大小需要借助冪函數(shù)的單調(diào)性來解決，故又增加了對冪函數(shù)y=x^t，t∈（0，1），單調(diào)性的研究．