Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

11

，an+1=

an

1-2an

（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列．
（2）令b_n=|

1

an

|，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n≠0，an+1=

an

1-2an

，兩邊求倒數(shù)整理可得，

1

an+1

-

1

an

=-2，可證
（2）由（1）可得

1

an

=11+(n-1)×(-2)=-2n+13，則bn=|

1

an

|=|13-2n|=

13-2n，n≤6 2n-13，n＞6

，設(shè)數(shù)列列{

1

an

}的前項和為T_n，若n≤6時，S_n=T_n；若n＞7時，S_n=2T₆-T_n，代入可求

解答：（1）證明：∵a_n≠0，an+1=

an

1-2an

∴

1

an+1

=

1-2an

an

=

1

an

-2
∴

1

an+1

-

1

an

=-2，

1

a1

=11
∴數(shù)列{

1

an

}是以11為首項，以-2為公差的等差數(shù)列等差數(shù)列．
（2）解：由（1）可得

1

an

=11+(n-1)×(-2)=-2n+13
∴bn=|

1

an

|=|13-2n|=

13-2n，n≤6 2n-13，n＞6

設(shè)數(shù)列列{

1

an

}的前項和為T_n，則由等差數(shù)列的求和公式可得，Tn=

11+13-2n

2

×n=12n-n²
若n≤6時，S_n=T_n=12n-n²
若n＞7時，S_n=T₆+[-（T_n-T₆）]=2T₆-T_n=n²-12n+72
∴Sn=

12n-n2，n≤6 n2-12n+72，n≥7

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解通項公式，等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，要注意分類討論在求解中的應(yīng)用．