Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（Ⅰ）若|f（x）|=g（x）有兩個(gè)不同的解，求a的值；
（Ⅱ）若當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求h（x）=|f（x）|+g（x）在[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解方程|f（x）|=g（x），根據(jù)積商符號(hào)法則轉(zhuǎn)化為兩個(gè)絕對(duì)值不等式的根的問(wèn)題；
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）恒成立即（x²-1）≥a|x-1|對(duì)x∈R恒成立，對(duì)x進(jìn)行討論，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解；（Ⅲ）去絕對(duì)值，分段求函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），
即|x²-1|=a|x-1|，變形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
顯然，x=1已是該方程的根，
從而欲原方程有兩個(gè)不同的解，即要求方程|x+1|=a
“有且僅有一個(gè)不等于1的解”或
“有兩解，一解為1，另一解不等于1”
得a=0或a=2
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）對(duì)x∈R恒成立，
即（x²-1）≥a|x-1|（*）對(duì)x∈R恒成立，
①當(dāng)x=1時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí)a∈R
②當(dāng)x≠1時(shí)，（*）可變形為a≤

x2-1

|x-1|

，
令φ(x)=

x2-1

|x-1|

=

x+1，(x＞1) -(x+1)，(x＜1)

，
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，φ（x）＞2；而當(dāng)x＜1時(shí)，φ（x）＞-2．
所以g（x）＞-2，故此時(shí)a≤-2
綜合①②，得所求a的取值范圍是a≤-2
（Ⅲ）因?yàn)閔（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|
=

x2+ax-a-1，(x≥1) -x2-ax+a+1，(-1≤x＜1) x2-ax+a-1，(x＜-1)

，
1）當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，
h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，
經(jīng)比較，此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3
2）當(dāng)0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時(shí)，
h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上遞減，
在[-1，-

a

2

]上[1，2]上遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，
經(jīng)比較，知此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3
3）當(dāng)-1≤

a

2

＜0，即-2≤a＜0時(shí)，
h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上遞減，
在[-1，-

a

2

]，[1，2]上遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，
經(jīng)比較知此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3
4）當(dāng)-

3

2

≤

a

2

＜-1，即-3≤a＜-2時(shí)，
h（x）在[-2，

a

2

]，[1，-

a

2

]上遞減，
在[

a

2

，1]，[-

a

2

，2]上遞增，且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
經(jīng)比較知此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3
5）當(dāng)

a

2

＜-

3

2

，即a＜-3時(shí)，
h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
故此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為h（1）=0
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3；
當(dāng)-3≤a＜0時(shí)，h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3；
當(dāng)a＜-3時(shí)，h（x）在[-2，2]上的最大值為0．

點(diǎn)評(píng)：考查絕對(duì)值方程、不等式和最值問(wèn)題的求法，體現(xiàn)了分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，特別是（Ⅲ）難度較大，很好的考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．屬難題．