Question

已知函數(shù)f（x）=|x|（x-4）
（1）畫(huà)出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象指出函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間；
（3）討論關(guān)于x的方程|x|（x-1）=k實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（1）f（x）=|x|（x-4）=
圖象如圖：
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 （-∞，0]和[4，+∞），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[0，4]；函數(shù)的零點(diǎn)為0和4．
（3）關(guān)于x的方程|x|（x-1）=k實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
由函數(shù) 圖象知：當(dāng)k＞0或k＜-4時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|x|（x-1）=k有1個(gè)實(shí)數(shù)解；
當(dāng)k=0或k=-4時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|x|（x-1）=k有2個(gè)實(shí)數(shù)解；
當(dāng)-4＜k＜0時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程|x|（x-1）=k有3個(gè)實(shí)數(shù)解．
分析：本題考查的是分段函數(shù)問(wèn)題．在解答時(shí)，對(duì)（1）去絕對(duì)值從而獲得函數(shù)f（x）的解析式；根據(jù)自變量的取值范圍不同分別不同段上的函數(shù)圖象即可，注意是兩部分開(kāi)口不同的二次函數(shù)圖象，（2）由圖象直接讀出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的零點(diǎn)即可；對(duì)（3）關(guān)于x的方程|x|（x-1）=k實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)圖象即可求得結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是分段函數(shù)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．屬中檔題．