Question

數(shù)列{a_n}中，a₁＝1，a₂＝2，且a_n+2＝(1＋cos²)a_n＋sin²，(n∈N^*)

(1)求a₃，a₄，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

(2)設(shè)b_n＝，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：當(dāng)n≥6時，|S_n－2|＜．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)＝2，＝4　2分 　　若n為奇數(shù)，設(shè)，則＝ 　　則n為奇數(shù)時，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為1，首項(xiàng)為1，則： 　　若n為偶數(shù)，設(shè)，則＝ 　　則n為偶數(shù)時，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為1，首項(xiàng)為2，則： 　　所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為　7分 　　(2)＝，由錯位相減法可得：　10分 　　要證當(dāng)n≥6時，，只需證：n≥6時， 　　設(shè)，則 　　所以當(dāng)n≥6時，數(shù)列為遞減數(shù)列，則n≥6時，，即： 　　所以，當(dāng)n≥6時，(也可以用數(shù)學(xué)歸納法等方法證明)　14分