已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

【答案】

（1）

（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為

（3）

【解析】

試題分析：函數(shù)的定義域為，   1分

．    2分

（Ⅰ）當時，函數(shù)，，．

所以曲線在點處的切線方程為，

即．                  4分

（Ⅱ）函數(shù)的定義域為．   

（i）當時，在上恒成立，

則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減． 5分

（2）當時，，

（ⅰ）若，

由，即，得或；   6分

由，即，得．        7分

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為． 8分

（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調(diào)遞增．          9分

（Ⅲ））因為存在一個使得，

則，等價于.  10分

令，等價于“當 時，”. 

對求導，得.  11分

因為當時，，所以在上單調(diào)遞增.   12分

所以，因此.      13分

考點：導數(shù)的運用

點評：主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，屬于基礎(chǔ)題。

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log
13
x，若f（a3）+f（b3）=6，則f（ab）的值等于
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）的定義域分別為M，N，且M⊆N，若對任意的x∈M，都有g(shù)（x）=f（x），則稱g（x）是f（x）的“拓展函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)=
1
3
log2x，若g（x）是f（x）的“拓展函數(shù)”，且g（x）是偶函數(shù)，則符合條件的一個g（x）的解析式是
g(x)=
1
3
log2|x|（其它符合條件的函數(shù)也可）
g(x)=
1
3
log2|x|（其它符合條件的函數(shù)也可）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分16分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分．

已知函數(shù)．

（1）若，求的值；

（2）若對于恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆黑龍江省海林市高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，

（1）若曲線與曲線在它們的交點(1,c)處具有公共切線，求,的值；

（2）當，時，若函數(shù)在區(qū)間[，2]上的最大值為28，求的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省如東縣高三12月四校聯(lián)考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分16分）

已知函數(shù)，

（1）若在上的最大值為，求實數(shù)的值；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，設(shè)，對任意給定的正實數(shù)，曲線 上是否存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由。

 

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