Question

已知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF₁|-|PF₂|=2，記點(diǎn)P的軌跡為E，．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)F₂且法向量為，直線與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)．
①過(guò)P、Q作y軸的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記|PQ|=λ|AB|，試確定λ的取值范圍；
②在x軸上是否存在定點(diǎn)M，無(wú)論直線l繞點(diǎn)F₂怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，使恒成立？如果存在，求出定點(diǎn)M；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件知，點(diǎn)P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線右支，從而寫(xiě)出軌跡E的方程即可．
（2）①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用距離公式分別表示PQ|、|AB|，從而可求λ的取值范圍；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量垂直關(guān)系即可求得m值，從而解決問(wèn)題．
解答：解：（1）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．
軌跡方程為．
（2）直線l的方程為a（x-2）+y=0，
由得（a²-3）x²-4a²x+4a²+3=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由條件得
解得a²＞3即．

①，|AB|=|y₁-y₂|=|a||x₁-x₂|
由條件，故x₁≠x₂，∴，
因?yàn)閍²＞3，因此．
②設(shè)存在點(diǎn)M（m，0）滿(mǎn)足條件，由
=，
得3（1-m²）+a²（m²-4m-5）=0對(duì)任意a²＞3恒成立，
所以，解得m=-1，
因此存在定點(diǎn)M（-1，0）滿(mǎn)足條件．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式及雙曲線的性質(zhì)解決具體問(wèn)題，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．