Question

已知橢圓以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，坐標(biāo)軸為對稱軸，且該橢圓以拋物線y²=16x的焦點(diǎn)P為其一個焦點(diǎn)，以雙曲線的焦點(diǎn)Q為頂點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），且C、D分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)M是線段CD上的動點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件知P（4，0），點(diǎn)Q（5，0），設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且a=5，c=4，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)M（x，y），線段CD方程為，即，由點(diǎn)M是線段CD上，知，由此能求出的取值范圍．
解答：解：（1）由已知得點(diǎn)P為（4，0），點(diǎn)Q為（5，0）…（2分）
∴可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且a=5，c=4…（3分）
∴b²=25-16=9，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．…（5分）
（2）設(shè)M（x，y），線段CD方程為，即…（7分）
∵點(diǎn)M是線段CD上，∴
又，
∴，…（10分）
將代入得：
∴…（12分）
∵0≤x≤5，
∴的最大值為24，的最小值為．
∴的取值范圍是．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法和求的取值范圍．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．