Question

甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為

1

2

，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判．
（ I）求第4局甲當(dāng)裁判的概率；
（ II）X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）令A(yù)₁表示第2局結(jié)果為甲獲勝，A₂表示第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)，A表示第4局甲當(dāng)裁判，分析其可能情況，每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立且互斥，利用獨(dú)立事件、互斥事件的概率求解即可．
（II）X的所有可能值為0，1，2．分別求出X取每一個(gè)值的概率，列出分布列后求出期望值即可．

解答：解：（I）令A(yù)₁表示第2局結(jié)果為甲獲勝．A₂表示第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)．A表示第4局甲當(dāng)裁判．
則A=A₁•A₂，P（A）=P（A₁•A₂）=P（A₁）P（A₂）=

1

4

；
（Ⅱ）X的所有可能值為0，1，2．令A(yù)₃表示第3局乙和丙比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝．
B₁表示第1局結(jié)果為乙獲勝，B₂表示第2局乙和甲比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝，B₃表示第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙負(fù)，
則P（X=0）=P（B₁B₂B₃）=P（B₁）P（B₂）P（B₃）=

1

8

．
P（X=2）=P（

.

B1

B₃）=P（

.

B1

）P（B₃）=

1

4

．
P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=

5

8

．
從而EX=0×

1

8

+1×

5

8

+2×

1

4

=

9

8

．

點(diǎn)評：本題考查互斥、獨(dú)立事件的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等知識，同時(shí)考查利用概率知識解決問題的能力．