Question

（1）設(shè)集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，則“x∈M或x∈P”是“x∈（M∩P）”的什么條件？
（2）求使不等式4mx²-2mx-1＜0恒成立的充要條件．

Answer 1

分析：（1）由“x∈M，或x∈P”⇒“x∈M∪P”，“x∈M∩P”⇒“x∈M，且x∈P”⇒“x∈M，或x∈P”，知“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分條件．
（2）當(dāng)m=0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)m≠0時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)得到m的取值范圍．兩者取并集即可得到m的取值范圍．從而得出使不等式4mx²-2mx-1＜0恒成立的充要條件．

解答：解：（1）x∈M或x∈P⇒x∈R，x∈（M∩P）?x∈（2，3），
因?yàn)閤∈M或x∈P不能推出x∈（M∩P），
但x∈（M∩P）⇒x∈M或x∈P．
故“x∈M或x∈P”是“x∈（M∩P）”的必要不充分條件．
（2）當(dāng)m≠0時(shí)，不等式4mx²-2mx-1＜0恒成立⇒

4m＜0 T△=4m2+16m＜0

?-4＜m＜0．
又當(dāng)m=0時(shí)，不等式4mx²-2mx-1＜0，對x∈R恒成立．
故使不等式4mx²-2mx-1＜0恒成立的充要條件是-4＜m≤0．

點(diǎn)評：本題考查充分條件、必要條件、充要條件、不充分不必要條件的判斷和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．