Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）求的極值； 
（II）判斷y=f(x)的圖像是否是中心對稱圖形，若是求出對稱中心并證明，否則說明理由；
（III）設(shè)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823143201891210.gif" style="vertical-align:middle;" />,是否存在.當(dāng)時，的取值范圍是？若存在,求實(shí)數(shù)、的值；若不存在，說明理由

Answer 1

是的一個極大值, 是的一個極小值.
、不存在

解：(I)  .注意到，即，
得或．所以當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

所以是的一個極大值, 是的一個極小值.

證法1：方程（曲線）觀點(diǎn)要證f(x)的圖像關(guān)于對稱，只需證明點(diǎn)Q也在y=f(x)上，即證

(II) 點(diǎn)的中點(diǎn)是,所以的圖象的對稱中心只可能是.

 
設(shè)為的圖象上一點(diǎn),關(guān)于的對稱點(diǎn)是Q，
因，又
所以，

證2：函數(shù)的觀點(diǎn)證明中心對稱：要證y=f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，只需證

即點(diǎn)也在函數(shù)y=f(x)的圖像上。

 
設(shè)為的圖象上一點(diǎn),關(guān)于的對稱點(diǎn)是……
(III) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)、.,或.
若, 當(dāng)時, ,而.故不可能…
若,當(dāng)時, ,而.故不可能….
若,由的單調(diào)遞增區(qū)間是,知是的兩個解.而無解. 故此時的取值范圍是不可能是.
綜上所述,假設(shè)錯誤,滿足條件的實(shí)數(shù)、不存在.