Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)時(shí)，

①比較與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②證明：．

Answer 1

【答案】（1）有唯一一個(gè)零點(diǎn)，理由詳見(jiàn)解析；（2）①，證明詳見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）①令，然后對(duì)其求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而由函數(shù)的取值范圍可比較大小；

②結(jié)合①的結(jié)論，利用分析法分析結(jié)論成立的條件，然后利用導(dǎo)數(shù)可求．

（1）因?yàn)?/span>，所以．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，且，故在上無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

又由，

故在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)；

綜上，函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個(gè)零點(diǎn)．

（2）①，證明過(guò)程如下：

設(shè)函數(shù)，則，

令，即，解得；

令，即，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，π）上單調(diào)遞增．

則函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，

即，

綜上可得，成立；

②要證：ln[f（x）]+1ecosxf（x）﹣cosx成立，

即證明ln（sinx﹣xcosx）（sinx﹣xcosx）ecosx﹣cosx﹣1成立，

因?yàn)?/span>f（x）在（0，π）上單調(diào)遞增，，

即sinx﹣xcosx＞0，所以（sinx﹣xcosx）ecosx＞0，

由①知，即有，

有（sinx﹣xcosx）ecosx≥1+ln[（sinx﹣xcosx）ecosx]成立，

當(dāng)時(shí)，成立，

由成立，

此時(shí)能取等號(hào)，即有成立，

即成立.