Question

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分的所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿直線折起，使A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正如形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=x(cm)，
(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm²)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？
(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm³)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．

Answer 1

解：設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長(zhǎng)為a(cm)，
由已知得，
(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)²+1800，
所以當(dāng)x=15時(shí)，S取得最大值．
(2) V=a²h=（-x³+30x²），V′=，
由V′=0得x=0（舍）或x=20，
當(dāng)x∈(0，20)時(shí)，V′＞0；
當(dāng)x∈(20，30)時(shí)，V′＜0；
所以當(dāng)x=20時(shí)，V取得極大值，也是最大值，
此時(shí)，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為。