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已知實數a,b,c∈R,函數f(x)=ax3+bx2+cx滿足f(1)=0,設f(x)的導函數為f′(x),滿足f′(0)f′(1)>0.
(1)求的取值范圍;
(2)設a為常數,且a>0,已知函數f(x)的兩個極值點為x1,x2,A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),求證:直線AB的斜率
【答案】分析:(1)由f(1)=0得a+b+c=0,∴b=-(a+c),求導數f′(x),把f′(0)f′(1)>0表示為關于a,c的不等式,進而化為關于的二次不等式即可求得的取值范圍;
(2)令f′(x)=3ax2+2bx+c=0,則,x1x2=,把韋達定理代入k=可得關于a,b,c的表達式,令t=,k可化為關于t的二次函數式,借助(1)問t的范圍即可求得k的范圍;
解答:解:(1)∵f(1)=a+b+c=0,∴b=-(a+c),
∵f′(x)=3ax2+2bx+c,
∴f′(0)=c,f′(1)=3a+2b+c,
∴f′(0)f′(1)=c(3a+2b+c)=c(a-c)=ac-c2>0,
∴a≠0,c≠0,
>0,
所以0<1.
(2)令f′(x)=3ax2+2bx+c=0,則,x1x2=,
∴k==
=
=a()+b(x2+x1)+c
=a[]+b(x2+x1)+c
=a(-)+b(-)+c
=a[(-)+(-)+]
=(-+),
令t=,由b=-(a+c)得,=-1-t,t∈(0,1),
則k=[-(1+t)2+3t]=(-t2+t-1),
∵a>0,-t2+t-1∈(-1,-],∴k∈(-,-].
點評:本題考查函數在某點取得極值的條件、導數運算及直線斜率,考查轉化思想,解決(2)問關鍵是通過換元轉化為關于t的二次函數,從而可利用二次函數性質解決.
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