Question

已知函數(shù)f(

1

x

)=

2x2+x+a

x

，其中x∈（0，1]
（Ⅰ）當(dāng)a=

1

2

時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在定義域內(nèi)，f（x）＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

由題意知
∵f(

1

x

)=

2x2+x+a

x

，x∈（0，1]
設(shè)t=

1

x

∈[1，+∞），可求得函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=ax+

2

x

+1定義域為x∈[1，+∞） 
（Ⅰ）當(dāng)a=

1

2

時，f（x）=

1

2

(x+

4

x

)+1x∈[1，+∞） 
 用定義證明f（x）的單調(diào)性如下：
設(shè)1≤x₁＜x₂≤2，則f（x₁）-f（x₂）=

1

2

(x1+

4

x1

)-

1

2

( x2 +

4

x2

)=

1

2

(x1-x2)(1-

4

x1x2

)，
∵1≤x₁＜x₂≤2
∴f（x₁）-f（x_{2 ^）＞0}
故f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減．同理可證f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f（x）的最小值為f（2）=3．
（Ⅱ）∵x∈[1，+∞），f（x）=ax+

2

x

+1=

ax2+x+2

x

＞0恒成立
∴等價于當(dāng)x∈[1，+∞），ax²+x+2＞0恒成立即可
∴a＞

-x-2

x2

在x∈[1，+∞）恒成立    又

1

x

∈（0，1]
令g（x）=

-x-2

x2

=-2（

1

x

）²-

1

x

=-2（

1

x

+

1

4

）²+

1

8

即g（x）∈[-3，0）
∴a≥0
故a的取值范圍[0，+∞）．