Question

（本小題滿分14分）如圖，已知矩形中，，，將矩形沿對角線把△折起，使移到點，且在平面上的射影恰好在上．

（1）求證：；

（2）求證：平面平面；

（3）求三棱錐的體積．

 

Answer 1

【答案】

（1）先證垂直于所在的平面，進而證明

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論先證A₁D⊥平面A₁BC，進而再證平面平面

（3）48

【解析】

試題分析：（1）連接A₁O，

∵A₁在平面BCD上的射影O在CD上，

∴A₁O⊥平面BCD，                                                       ……2分

又BC?平面BCD  ∴BC⊥A₁O ，                                          ……3分

又BC⊥CO，A₁O∩CO=O，

∴BC⊥平面A₁CD.                                                        ……5分

又A₁D?平面A₁CD，∴BC⊥A₁D.                                             ……6分

（2）∵ABCD為矩形，∴A₁D⊥A₁B，                                        ……7分

由（1）知A₁D⊥BC，A₁B∩BC=B ∴A₁D⊥平面A₁BC，                          ……9分

又A₁D?平面A₁BD ∴平面A₁BC⊥平面A₁BD.                                ……10分

（3）由（1）BC⊥平面A₁CD 知BC是三棱錐B-A₁CD的高 ，BC="6" ,            ……11分

∵A₁D⊥平面A₁BC，

∴A₁D⊥A₁C．

∵A₁D=6，CD=10，∴A₁C=8，                                              ……12分

∴，                        

故所求三棱錐A₁-BCD的體積為48．                                      ……14分

考點：本小題主要考查空間中線面垂直和面面垂直的證明以及三棱錐體積的計算，考查學生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.

點評：證明空間中的位置關系時，要把定理中要求的條件一一列出來，缺一不可，而三棱錐是一種特殊的三棱錐，不僅經(jīng)�？疾槿�棱錐體積的求法，還經(jīng)常利用等體積法求點到平面的距離.