Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-9x-1；
（Ⅰ）若x=-1是函數(shù)f（x）的一個極值點，求：（1）a的值；（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，5]上的最大值與最小值．
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使f（x）在R上單調(diào)遞增；若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（1）由f′（x）=3x²+2ax-9和x=-1是函數(shù)f（x）的一個極值點，能求出a=-3．
（2）由a=-3，知f′（x）=3x²-6x-9，f（x）=x³-3x²-9x-1，由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，5]上的最大值與最小值．
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）在R上單調(diào)遞增，則f′（x）=3x²+2ax-9＞0的解集為R，由此能推導出不存在實數(shù)a，使f（x）在R上單調(diào)遞增．

解答：解：（Ⅰ）（1）∵f（x）=x³+ax²-9x-1，
∴f′（x）=3x²+2ax-9，
∵x=-1是函數(shù)f（x）的一個極值點，
∴f′（-1）=3-2a-9=0，
解得a=-3．
（2）∵a=-3，∴f′（x）=3x²-6x-9，f（x）=x³-3x²-9x-1，
由f′（x）=3x²-6x-9=0，得x=-1，或x=3．
∵x∈[-2，5]，-1∈[-2，5]，3∈[-2，5]，
f（-2）=-8-12+18-1=-3；
f（-1）=-1-3+9-1=4；
f（3）=27-27-27-1=-28；
f（5）=125-75-45-1=4．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，5]上的最大值為4，最小值為-28．
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）在R上單調(diào)遞增，
則f′（x）=3x²+2ax-9＞0的解集為R，
∴△=4a²+108＜0
∵△=4a²+108≥108，
∴△＜0不成立．
所以，不存在實數(shù)a，使f（x）在R上單調(diào)遞增．

點評：本題考查導數(shù)求函數(shù)的極值和最值時的應用，考查函數(shù)在R上是增函數(shù)的性質(zhì)的應用，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想的合理運用．